Question

【题目】已知椭圆过点．其左、右两个焦点分别为、，短轴的一个端点为，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线：与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点．若，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据题意，由可得，将点代入椭圆方程，结合椭圆中的关系，即可求得椭圆的标准方程.

（2）设，，联立直线与椭圆方程，化简后由韦达定理表示出，．由解得；由，可结合平面向量数量积的坐标运算求得，表示出，利用换元法可令，即可化简为关于的表达式，结合对勾函数的图像与性质即可求得的最大值.

（1）由题意得，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）设，．

则，

∴，．

由，

化简可得，解得．①

由，得，

所以．

又，

∴

，所以．②

综合①②可知．

令

则，，所以，

因为在上单调递增，

所以在上单调递减，

当，即时，的面积最大，最大值为．