Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，点在此抛物线上，，不过原点的直线与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)证明：直线恒过定点；

(3)若线段AB中点的纵坐标为2，求此时直线和圆M的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点；（3），

【解析】

（1）根据抛物线的定义，将转化为抛物线上的点到准线的距离，从而求出，得到抛物线方程.

（2）直线与抛物线联立，得到，然后利用以为直径的圆过坐标原点，即,代入，求出斜率与截距的关系，得到直线过的定点.

（3）根据中点坐标，求出直线的斜率，得到直线方程，再求出长度，即圆的半径，得到圆的方程.

（1）抛物线，其准线为

点在此抛物线上，，

点到准线的距离等于,即，得

所求抛物线方程为

（2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为，，易知.

联立方程组得，从而可得方程

由题意可知

所以

因为以为直径的圆过坐标原点，

所以，即，所以，所以.

所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点.

②当直线的斜率不存在时，易求得点坐标分别为，，直线也过点.

综合①②可知，直线恒过定点.

（3）由题意可知直线斜率存在，设线段中点坐标为

由（2）中所得，

则

所以，解得

所以直线方程为.

因为线段中点坐标为，即为圆的圆心坐标，

设圆 .

代入，得

所以圆的方程为