Question

已知B是椭圆=1(a＞b＞0)上的一点，F是椭圆右焦点，且BF⊥x轴，B(1,).

（1）求椭圆Ｅ的方程.

（2）设A₁和A₂是长轴的两个端点，直线l垂直于A₁A₂的延长线于点Ｄ，|OD|=4,Ｐ是l上异于点Ｄ的任意一点，直线A₁Ｐ交椭圆E于M（不同于A₁、A₂），设λ=·，求λ的取值范围.

Answer 1

解:(1)依题意,半焦距c=1,左焦点为F′(-1,0).则2a=|BF|+|BF′|,由B(1,),|BF|=,

由距离公式得|BF′|=，2a=4,a=2.

b²=a²-c²=2²-1=3.∴椭圆Ｅ的方程为+=1.

（2）由(1)知，A₁(-2,0),A₂(2,0).设M(x₀,y₀),∵M在椭圆E上，∴y₀²=(4-x₀²)

由Ｐ、M、A₁三点共线可得Ｐ(4,)，

∴=(x₀-2,y₀)，=(2,).

∴·=2(x₀-2)+=(2-x₀).

∵-2＜x₀＜2，∴λ=·∈(0,10).