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    如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.

    （Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;
    （Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

    (1)证明过程详见解析；（2）.

    解析试题分析：本题以正三角形为几何背景，考查四点共圆问题以及相似三角形问题，考查学生的转化与化归的能力.第一问，利用已知条件中边的比例关系可得出结论，再利用三角形相似，得出，所以，所以可证四点共圆；第二问，根据所给正三角形的边长为2，利用已知的比例关系，得出各个小边的长度，从而得出为正三角形，所以得出，所以是所在圆的圆心，而是半径，即为.
    试题解析：(Ⅰ)证明:∵,   ∴,
    ∵在正中, , ∴,
    又∵,, ∴, ∴,
    即,所以四点共圆.               5分
    (Ⅱ)解:如图,

    取的中点,连接,则,
    ∵, ∴,
    ∵,, ∴为正三角形,
    ∴,即,
    所以点是外接圆的圆心,且圆的半径为.
    由于四点共圆,即四点共圆,其半径为.           10分
    考点：1.四点共圆的证明；2.三角形相似；3.三角形的外接圆.

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    如图所示，在△ABC中，I为△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC外接圆于E.

    求证：(1)IE＝EC；
    (2)IE2＝ED·EA.

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    如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：
     
    (1)∠AED＝∠AFD；
    (2)AB2＝BE·BD－AE·AC.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.

    （Ⅰ）求证:A,E,F, D四点共圆；
    （Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

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    如图，是⊙的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点．

    求证：（1）；
    （2）四点共圆．

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    如图,为△外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.

    (Ⅰ)证明:是△外接圆的直径;
    (Ⅱ)若,求过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.

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    如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：

    （1）l是⊙O的切线；
    （2）PB平分∠ABD.

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    如图，为圆的直径，为垂直于的一条弦，垂足为，弦与交于点.

    （Ⅰ）证明：四点共圆；
    （Ⅱ）证明：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，

    （I）
    （II）

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