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    如图,为△外接圆的切线,的延长线交直线于点,分别为弦与弦上的点,且,四点共圆.

    (Ⅰ)证明:是△外接圆的直径;
    (Ⅱ)若,求过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值.

    （I）见解析；（II）.

    解析试题分析：（I）证明是△外接圆的直径，关键是证明，利用已知条件易于得到；在利用四点共圆，其对角互补即得证.
    （II）通过连接明确四点的圆的直径为，得到；根据，得，从而将圆面积之比，转化成.
    试题解析：（I）证明：∵为△外接圆的切线，∴，
    ∵，∴．

    ∵四点共圆，．
    是△外接圆的直径；
    （II）连接，
    ∴过四点的圆的直径为，由，得，
    又
    而
    故过四点的圆的面积与△外接圆面积的比值为，
    .
    考点：与圆相关的比例线段

    练习册系列答案
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    如图，内接于上，，交于点E，点F在DA的延长线上，，求证：

    （1）是的切线；
    （2）.

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    如图，、是圆的半径，且，是半径上一点：延长交圆于点，过作圆的切线交的延长线于点.求证：.

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    如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.

    （Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;
    （Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

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    如图所示，己知为的边上一点，经过点，交于另一点，经过点，，交于另一点，与的另一交点为.

    (I)求证：四点共圆；
    （II)若切于，求证：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．

    （Ⅰ）求证：BE＝2AD；
    （Ⅱ）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，是的直径，弦与垂直，并与相交于点，点为弦上异于点的任意一点，连结、并延长交于点、.
    ⑴ 求证：、、、四点共圆；
    ⑵ 求证：.

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2 = EF·EC.

    （Ⅰ）求证：CE·EB = EF·EP；
    （Ⅱ）若CE:BE = 3:2，DE = 3，EF = 2，求PA的长.

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