Question

1．如图，直线a，b是异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F是直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．
求证：（1）∠A′B′C′=∠C′D′E′；
（2）点A′，B′，C′，D′，E′共面．

Answer 1

分析 （1）利用一个角的两边和另一个角的两边对应平行且方向相同，则这两个角相等，即可证明；
（2）由A'B'∥C′D′得出A′B′与C′D′所确定的平面A′B′C′D′，再证明B′、C′、D′、E'也在平面A′B′C′D′即可．

解答 证明：（1）∵A′、B′分别为AD，DB的中点，
∴A'B'∥AC，同理C'D'∥AC，
∴A′B′∥C′D′，
同理B'C'∥D'E'，且∠A′B′C′与∠C′D′E′方向相同，
∴∠A'B'C'=∠C'D'E'；
（2）∵A'B'∥C′D′，设A′B′与C′D′所确定的平面为A′B′C′D′，
则B′∈平面A′B′C′D′，C′∈平面A′B′C′D′，
∴B′C′?平面A′B′C′D′，
又B'C'∥D'E'，且D′∈平面A′B′C′D′，
∴E′∈平面A'B'C'D'；
即点A′，B′，C′，D′，E′共面．

点评 本题考查了平行公理的推论与应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推论能力的应用问题，是基础题目．