Question

6．设f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，记f₁（x）=f（x），若f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₁₆（x）=x．

Answer 1

分析 利用函数的性质推导出f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），由此能求出f₂₀₁₆（x）．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，
∴f₁（x）=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
f₂（x）=f（f₁（x））=f（$\frac{1-x}{1+x}$）=$\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}$=x，
f₃（x）=f（f₂（x））=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
f₄（x）=f（f₃（x））=f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．
…
∴f_n（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{1+x}，x为奇数}\\{x，x为偶数}\end{array}\right.$．
∴f₂₀₁₆（x）=x．
故答案为：x．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．