Question

16．已知等差数列{a_n}的公差为1，且a₁，a₃，a₉成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n；
（1）若数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，证明T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）由等差数列{a_n}的公差为1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，可得${a}_{3}^{2}$=a₁a₉，即$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），解得a₁．再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵等差数列{a_n}的公差为1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，
∴${a}_{3}^{2}$=a₁a₉，∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），解得a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n，
S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）证明：$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．
∴T_n＜2．

点评 本题考查了“裂项求和”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．