Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A，B是椭圆上不同的两点且△F₁AF₂的周长为2（$\sqrt{2}$+1）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A，B关于直线y=mx+$\frac{1}{2}$对称，求△AOB面积取最大值时m的值（O为坐标原点）

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，△F₁AF₂的周长为2（$\sqrt{2}$+1），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由题意知m≠0，设直线AB的方程为$y=-\frac{1}{m}x+b$，与椭圆联立，得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{m}^{2}}$）x²-$\frac{2b}{m}x$+b²-2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，△AOB面积取最大值$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁，F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
A，B是椭圆上不同的两点且△F₁AF₂的周长为2（$\sqrt{2}$+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2a+2c=2（\sqrt{2}+1）}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由题意知m≠0，设直线AB的方程为$y=-\frac{1}{m}x+b$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-\frac{1}{m}x+b}\end{array}\right.$，得（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{m}^{2}}$）x²-$\frac{2b}{m}x$+b²-2=0，
∵直线y=-$\frac{1}{m}x+b$与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1有两个不同的交点，
∴△=$\frac{4{b}^{2}}{{m}^{2}}$-4（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{m}^{2}}$）（b²-2）=-2b²+4+$\frac{8}{{m}^{2}}$＞0，①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4mb}{{m}^{2}+2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{b}^{2}{m}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$，
y₁+y₂=-$\frac{1}{m}$（x₁+x₂）+2b=$\frac{2{m}^{2}b}{{m}^{2}+2}$，
将AB的中点M（$\frac{2mb}{{m}^{2}+2}$，$\frac{{m}^{2}b}{{m}^{2}+2}$）代入直线方程y=mx+$\frac{1}{2}$，解得b=-$\frac{{m}^{2}+2}{2{m}^{2}}$，②
由①②解得m＜-$\frac{\sqrt{14}}{7}$或m＞$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
令t=$\frac{1}{m}$∈（-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
则|AB|=$\sqrt{{t}^{2}+1}$•$\sqrt{（\frac{4mb}{{m}^{2}+2}）^{2}-4×\frac{2{b}^{2}{m}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}}$
=$\sqrt{{t}^{2}+1}$•$\frac{\sqrt{-2{t}^{4}+6{t}^{2}+\frac{7}{2}}}{{t}^{2}+\frac{1}{2}}$，
O到直线AB的距离d=$\frac{{t}^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，
∴△AOB面积S=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×\sqrt{{t}^{2}+1}×\frac{\sqrt{-2{t}^{4}+6{t}^{2}+\frac{7}{2}}}{{t}^{2}+\frac{1}{2}}×\frac{{t}^{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{-2{t}^{4}+6{t}^{2}+\frac{7}{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-2（{t}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}+8}$≤$\sqrt{2}$．
当且仅当t²=$\frac{3}{2}$，即m²=$\frac{2}{3}$，m=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，△AOB面积取最大值$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形面积取最大值时实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式的合理运用．