Question

3．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得到如下频数分布表．

质量指标值分组	[75，85）	[85，95）	[95，105）	[105，115）	[115，125]
频数	6	26	x	22	8

（1）作出这些数据的频率分布直方图（用阴影表示）；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数$\overline{x}$及方差s²；
（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数$\overline{x}$，σ²近似为样本方差s²（每组数取中间值）．
①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；
②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？
（提示：$\sqrt{104}$≈10.2，若Z～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）

Answer 1

分析 （1）由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图；
（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；
（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；
①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；
②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．

解答 解：（1）由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：
（2）质量指标值的样本平均数为：
$\overline{x}$=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．
质量指标值的样本方差为
S²=（-20）²×0.06+（-10）²×0.26+0×0.38+10²×0.22+20²×0.08=104．
（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）=P（100-2×10.2＜Z＜100+2×10.2）=0.9544；
②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，
该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10-（1-0.9544）×20]=863200．

点评 本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．