Question

4．长半轴长为6，离心率为$\frac{1}{3}$，且焦距在x轴上的椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由长半轴长为6，离心率为$\frac{1}{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程．

解答 解：∵焦距在x轴上的椭圆长半轴长为6，离心率为$\frac{1}{3}$，
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
且$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，c=1，b²=8，
∴椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．