Question

20．已知实数x，y满足：$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x≤2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，z=|2x-2y-1|，则z的取值范围是[0，5]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义转化为点到直线的距离之间的关系进行求解即可．

解答 解：z=|2x-2y-1|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$•$\frac{|2x-2y-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{|2x-2y-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=2$\sqrt{2}d$，
d=$\frac{|2x-2y-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$的几何意义为区域内的点到直线2x-2y-1=0的距离，
作出不等式组对应的平面区域如图，
∵直线2x-2y-1=0经过平面区域，
∴d的最小值为0，
点C到直线2x-2y-1=0的距离最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（2，-1），
此时d的最大值为d=$\frac{|2×2-2×（-1）-1|}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{5}{\sqrt{8}}$=$\frac{5}{2\sqrt{2}}$，
则z的最大值为2$\sqrt{2}d$=2$\sqrt{2}$•$\frac{5}{2\sqrt{2}}$=5，
即z的取值范围是[0，5]，
故答案为：[0，5]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义转化为点到直线的距离之间的关系是解决本题的关键．