Question

10．已知$cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$α∈（π，\frac{3π}{2}）$．
（Ⅰ）求sinα的值；
（Ⅱ）求$\frac{{sin（π+α）+2sin（\frac{3π}{2}+α）}}{cos（3π-α）+1}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可得${sin^2}α=\frac{4}{5}$，结合角的范围可得sinα＜0，即可计算求解．
（Ⅱ）利用诱导公式化简所求，即可计算求值．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosα=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;\;{sin^2}α+{cos^2}α=1$，
∴${sin^2}α=\frac{4}{5}$…（2分）
∵$π＜α＜\frac{3}{2}π$，
∴sinα＜0，
∴$sinα=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）原式=$\frac{-sinα-2cosα}{-cosα+1}$=$\frac{{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}}{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}+1}}=\sqrt{5}-1$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．