Question

15．已知点F（1，0），点P为平面内的动点，过点P作直线l：x=-1的垂线，垂足为Q，且$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹C与x轴交于点M，点A，B是轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=0$，求$|\overrightarrow{MB}|$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P（x，y），则Q（-1，y），通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程，
（Ⅱ）（法一）依题意M（0，0），设MA：y=kx，构造方程组，求出点A的坐标，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理和两点之间的距离公式和函数的单调性即可求出，
（法二），设依题意M（0，0），设$A（\frac{y_1^2}{4}\;，\;\;{y_1}）\;，\;\;B（\frac{y_2^2}{4}\;，\;\;{y_2}）$，根据$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=0$，和基本不等式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），则Q（-1，y），
∵$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，F（1，0），
∴（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），…（2分）
∴2（x+1）=-2（x-1）+y²，∴y²=4x，即动点P的轨迹C的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）（法一）依题意M（0，0），设MA：y=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\;，\;\;\\{y^2}=4x\;，\;\;\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{k^2}\;，\;\;\\ y=\frac{4}{k}\;，\;\;\end{array}\right.$∴点$A（\frac{4}{k^2}\;，\;\;\frac{4}{k}）$，…（5分）
设$AB：y-\frac{4}{k}=-\frac{1}{k}（x-\frac{4}{k^2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}AB：y-\frac{4}{k}=-\frac{1}{k}（x-\frac{4}{k^2}）\;，\;\;\\{y^2}=4x\;，\;\;\end{array}\right.$消去x，得$\frac{y^2}{4k}+y-\frac{4}{k}-\frac{4}{k^3}=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-4k，…（7分）
∵${y_1}=\frac{4}{k}$，∴${y_2}=-4k-\frac{4}{k}$，∴${x_2}=\frac{y_2^2}{4}=4{（k+\frac{1}{k}）^2}$，
∴$|MB{|^2}=x_2^2+y_2^2=16{（k+\frac{1}{k}）^4}+16{（k+\frac{1}{k}）^2}$，…（8分）
设$t={（k+\frac{1}{k}）^2}≥4$，则$|MB{|^2}=16（{t^2}+t）=16[{（t+\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}]$，$y=16[{（t+\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}]$在[4，+∞）上是增函数，
∴当t=4时，${y_{min}}=16（{4^2}+4）=16×20$，
∴$|MB{|_{min}}=8\sqrt{5}$．…（12分）
（法二） 依题意M（0，0），设$A（\frac{y_1^2}{4}\;，\;\;{y_1}）\;，\;\;B（\frac{y_2^2}{4}\;，\;\;{y_2}）$，
则$\overrightarrow{MA}=（\frac{y_1^2}{4}\;，\;\;{y_1}）\;，\;\;\overrightarrow{AB}=（\frac{y_2^2-y_1^2}{4}\;，\;\;{y_2}-{y_1}）$，
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=0$，∴$\frac{y_1^2（y_2^2-y_1^2）}{16}+{y_1}（{y_2}-{y_1}）=0$，…（7分）
∵y₁≠y₂，y₁≠0，∴${y_2}=-（{y_1}+\frac{16}{y_1}）$，…（8分）
∴$y_2^2=y_1^2+\frac{256}{y_1^2}+32≥2\sqrt{256}+32=64$，当且仅当$y_1^2=\frac{256}{y_1^2}$，即y₁=±4时取等号，
∴$|\overrightarrow{MB}|=\sqrt{{{（\frac{y_2^2}{4}）}^2}+y_2^2}=\frac{1}{4}\sqrt{{{（y_2^2+8）}^2}-64}$，
当$y_2^2=64$，即y₂=±8时，$|\overrightarrow{MB}|=8\sqrt{5}$．…（12分）

点评 本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，向量的数量积的运算，对于考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．