Question

3．人的体重是人的身体素质的重要指标之一．某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重（公斤），体重在40公斤至65公斤之间，按体重进行如下分组：第1组[40，45），第2组[45，50），第3组[50，55），第4组[55，60），第5组[60，65]，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1组与第3组的频率之比为1：3，第3组的频数为90．
（Ⅰ）求该校抽取的学生总数以及第2组的频率；
（Ⅱ）学校为进一步了解学生的身体素质，在第1组、第2组、第3组中用分层抽样的方法抽取6人进行测试．若从这6人中随机选取2人去共同完成某项任务，求这2人来自于同一组的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第 2组、第3组的频率分别为p₂，p₃，由频率分布直方产求出p₃，从而能求出n和从左到右第2组的频率．
（Ⅱ）前3组的频率之比是1：2：3，则按照分层抽样，这6人的构成是第1组1人（不妨设为A），第2组2人（不妨设为B₁，B₂），第3组3人（不妨设为C₁，C₂，C₃），由此利用列举法能求出这2人来自同一组的概率．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）设该校抽查的学生总人数为n，第 2组、第3组的频率分别为p₂，p₃，
则p₃=0.025×3×5=0.375，所以$n=\frac{90}{p_3}=240$，（3分）
由p₂+0.375+（0.025+0.013+0.037）×5=1，解得p₂=0.25，
所以该校抽查的学生总人数为240人，从左到右第2组的频率为0.25．（6分）
（Ⅱ）前3组的频率之比是1：2：3，
则按照分层抽样，这6人的构成是第1组1人（不妨设为A），
第2组2人（不妨设为B₁，B₂），第3组3人（不妨设为C₁，C₂，C₃），
从这6人中任选两人有：
AB₁，AB₂，AC₁，AC₂，AC₃，B₁B₂，B₁C₁，B₁C₂，B₁C₃，B₂C₁，B₂C₂，B₂C₃，C₁C₂，C₁C₃，C₂C₃，共15个结果，
而这2人来自同一组的情况有B₁B₂，C₁C₂，C₁C₃，C₂C₃，共4个结果，
所以这2人来自同一组的概率p=$\frac{4}{15}$．（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．