Question

20．如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）=$\sqrt{3}$sinwx（A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x轴的交点．
（1）求f（x）的解析式
（2）对于x∈[0，3]，方程f²（x）-af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知P（$\frac{π}{2w}$，$\sqrt{3}$），Q（$\frac{3π}{2w}$，-$\sqrt{3}$），从而利用平面向量垂直求解析式；
（2）由题意知方程x²-ax+1=0在[0，$\sqrt{3}$）上有两个不同的解，从而解得．

解答 解：（1）由题意知，wx=$\frac{π}{2}$，故P（$\frac{π}{2w}$，$\sqrt{3}$），
wx=$\frac{3π}{2}$，故Q（$\frac{3π}{2w}$，-$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{π}{2w}$•$\frac{3π}{2w}$-3=0，
故w=$\frac{π}{2}$；
故f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x；
（2）结合函数f（x）在[0，3]上的图象，
∵对于x∈[0，3]，方程f²（x）-af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，
∴方程x²-ax+1=0在[0，$\sqrt{3}$）上有两个不同的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4＞0}\\{3-\sqrt{3}a+1＞0}\end{array}\right.$，
解得，2＜a＜$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
故实数a的取值范围为（2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了三角函数的应用及方程与函数的关系应用，同时考查了数形结合的思想方法应用．