Question

15．已知a，b为正实数，直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切，则$\frac{（3-2b）^{2}}{2a}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由圆心到直线的距离等于圆的半径得到a+b=1，则b=1-a，进一步得到0＜a＜1，代入$\frac{（3-2b）^{2}}{2a}$，化为关于a的函数式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：圆（x-b）²+（y-1）²=2的圆心坐标为（b，1），半径为$\sqrt{2}$，
∵直线x+y+a=0与圆（x-b）²+（y-1）²=2相切，
∴$\frac{|b+1+a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，则|a+b+1|=2，
又a＞0，b＞0，
∴a+b=1，则b=1-a，且0＜a＜1，
则$\frac{（3-2b）^{2}}{2a}$=$\frac{（1+2a）^{2}}{2a}=\frac{1+4a+4{a}^{2}}{2a}=2a+\frac{1}{2a}+2$$≥2\sqrt{2a•\frac{1}{2a}}+2=4$．
当且仅当$2a=\frac{1}{2a}$，即a=$\frac{1}{2}$时上式等号成立．
故选：B．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了点到直线距离公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．