Question

4．F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若3$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，则另一渐近线OB的方程为y=$\frac{b}{a}$x，由常州的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．

解答 解：由题意得右焦点F（c，0），
设一渐近线OA的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
则另一渐近线OB的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由FA的方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），联立方程y=-$\frac{b}{a}$x，
可得A的横坐标为-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由FA的方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），联立方程y=$\frac{b}{a}$x，
可得B的横坐标为$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$．
由3$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，
可得3（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）=$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$+c，
即为-$\frac{3{a}^{2}}{c}$+2c=$\frac{{a}^{2}c}{{c}^{2}-2{a}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$，可得-$\frac{1}{{e}^{2}}$+2=$\frac{1}{{e}^{2}-2}$，
即有e⁴-4e²+3=0，解得e²=3或1（舍去），
即为e=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．