Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n=2n+1，求a_n．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{a_n}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列．再由等差数列的通项公式求得答案．

解答 解：由a_n+1+a_n=2n+1，得
a_n+2+a_n+1=2（n+1）+1=2n+3，
两式作差得a_n+2-a_n=2．
又a₁=1，得a₂=3-a₁=2，
∴数列{a_n}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列．
则当n为奇数时，a_n=1+2（$\frac{n+1}{2}$-1）=n
当n为偶数时，a_n=2+2（$\frac{n}{2}$-1）=n，
综上所述a_n=n

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．