Question

1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知2c=2acosB+b．
（1）求∠A的大小；
（2）若c=2b，求证：∠C=3∠B．

Answer 1

分析 （1）利用利用余弦定理化简条件式得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosA；
（2）由正弦定理可知sinC=2sinB=2sin（$\frac{2π}{3}-C$），解出C和B，得出B，C的倍数关系．

解答 （1）解：在△ABC中，∵2c=2acosB+b，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴2c=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{c}$+b，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）证明：∵B+C=π-A=$\frac{2π}{3}$．∴C=$\frac{2π}{3}-B$．
∵c=2b，∴sinC=2sinB=2sin（$\frac{2π}{3}-C$）=$\sqrt{3}$cosC+sinC．
∴cosC=0，故C=$\frac{π}{2}$．
∴B=$\frac{2π}{3}-\frac{π}{2}$=$\frac{π}{6}$．
∴∠C=3∠B．

点评 本题考查了正余弦定理，解三角形，属于基础题．