Question

8．设$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线向量，已知$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$．若$\overrightarrow{BF}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，且B，D，F三点共线，则k的值为12．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$．可得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$，由于B，D，F三点共线，因此存在实数m使得$\overrightarrow{BF}$=m$\overrightarrow{BD}$，即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=-（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵B，D，F三点共线，
∴存在实数m使得$\overrightarrow{BF}$=m$\overrightarrow{BD}$，
∴3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-k$\overrightarrow{{e}_{2}}$=m（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=m$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是两个不共线向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=m}\\{-k=-4m}\end{array}\right.$，
解得k=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．