Question

11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若存在满足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0的点M在椭圆外部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 由已知得顶角（F₁、F₂与短轴端点形成的角）为钝角，从而c＞b，由此能求出椭圆离心率的取值范围．

解答 解：∵F₁、F₂是椭圆的两个焦点，存在满足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0的点M在椭圆外部，
∴顶角（F₁、F₂与短轴端点形成的角）为钝角，
∴c＞b，∴c²＞b²=a²-c²，∴2c²＞a²，
∴a＜$\sqrt{2}c$，
∴e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，
∴椭圆离心率的取值范围是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．