Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的两条切线方程y=±$\frac{1}{2}$（x-4），切点分别为A、B，且切线与x轴的交点为T．
（1）求a的值；
（2）过T的直线l与椭圆C交于M，N两点，与AB交于点D，求证：$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$为定值．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{1}{2}（x-4）}\\{3{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-3{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，得（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）x²-2a²x+a²=0，直线与椭圆相切，利用的判别式能求出a．
（2）T（4，0），设直线l的方程为x=my+4，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去x，得（3m²+4）y²+24my+4m²+36=0，由此利用韦达定理、相似形性质，结合已知条件能证明$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$为定值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞0）的两条切线方程y=±$\frac{1}{2}$（x-4）
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{y=±\frac{1}{2}（x-4）}\\{3{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-3{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，消去y并化简，得（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）x²-2a²x+a²=0，
∵直线与椭圆相切，
∴△=4a⁴-4（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）a²=3a⁴-12a²=0，
由a＞0，解得a=2．
证明：（2）由（1）得T（4，0），
不妨设直线l的方程为x=my+4，由题意得m≠0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，消去x，得（3m²+4）y²+24my+4m²+36=0，
由根与系数的关系，得${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{24m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，
又切点的横坐标应满足方程（3+$\frac{{a}^{2}}{4}$）x²-2a²x+a²=0，即4x²-8x+4=0，
即x_A=x_B=1，∴直线AB的方程为x=1．
当直线l与x轴重合时，|TD|=3，|TM|=2，|TN|=6，
∴$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$=$\frac{3}{2}+\frac{3}{6}=2$为定值；
当直线l与x轴不重合时，m≠0，则点D（1，-$\frac{3}{m}$），
根据相似形，得$\frac{|TD|}{|TM|}$=$\frac{|{y}_{0}-{y}_{T}|}{|{y}_{M}-{y}_{T}|}$=$\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{1}|}$，$\frac{|TD|}{|TN|}$=$\frac{|{y}_{D}-{y}_{T}|}{|{y}_{N}-{y}_{T}|}$=$\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{2}|}$，
∴$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$=$\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{1}|}+\frac{|{y}_{D}|}{|{y}_{2}|}$=$\frac{|{y}_{D}|•|{y}_{1}+{y}_{2}|}{|{y}_{1}{y}_{2}|}$（y₁，y₂同号）
=$\frac{|-\frac{3}{m}|•|-\frac{24m}{3{m}^{2}+4}|}{|\frac{36}{3{m}^{2}+4}|}$=2为定值．
∴$\frac{|TD|}{|TM|}$+$\frac{|TD|}{|TN|}$为定值2．

点评 本题考查实数值的求法，考查代数式和为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆相切、韦达定理的合理运用．