Question

8．试问函数f（x）=x+cosx是否为周期函数？请证明你的结论．

Answer 1

分析 假设f（x）为周期函数，周期为T，则f（x）=f（x+T）恒成立，令x=0和x=π，列出方程组解出T，得出矛盾即可证明f（x）不是周期函数．

解答 解：函数f（x）=x+cosx不是周期函数．
证明如下：（反证法）
假设函数f（x）的一个周期为T（T≠0），则有f（x+T）=f（x）成立，
即T+cos（x+T）=cosx对一切实数x均成立．
分别取x=0和x=π得：$\left\{\begin{array}{l}{T+cosT=1}\\{T-cosT=-1}\end{array}\right.$，
两式相加得2T=0，即T=0．与T≠0相矛盾．
所以假设不成立．
∴函数f（x）=x+cosx不是周期函数．

点评 本题考查了函数周期的定义，反证法，属于中档题．