Question

1．已知不等式ax²+bx+c≤0的解集为$\left\{{x|x≤-\frac{1}{3}或x≥2}\right\}$，求不等式cx²+bx+a＞0的解集．

Answer 1

分析 由于不等式ax²+bx+c≤0的解集为$\left\{{x|x≤-\frac{1}{3}或x≥2}\right\}$，可得：$-\frac{1}{3}$，2 是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可把不等式cx²+bx+a＞0化为二次不等式即可解出．

解答 解：由题意可知，a＜0且方程ax²+bx+c=0的两根为$-\frac{1}{3}$，2 …（3分）
∴$-\frac{b}{a}=\frac{5}{3}$，$\frac{c}{a}=-\frac{2}{3}$，
∴$b=-\frac{5}{3}a$，$c=-\frac{2}{3}a$…（6分）
∴不等式cx²+bx+a＞0，
即$-\frac{2}{3}a{x^2}-\frac{5}{3}ax+a＞0$，
∴2x²+5x-3＞0…（9分），
∴（2x-1）（x+3）＞0，
 解得$x＜-3或x＞\frac{1}{2}$…（11分），
∴不等式cx²+bx+a＞0的解集为$\left\{{x|x＜-3或x＞\frac{1}{2}}\right\}$．…（12分）

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．