Question

5．已知直线（2+λ）x-（1-2λ）y-（6+3λ）=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上点到点F的最小距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆C恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

分析 （I）直线（2+λ）x-（1-2λ）y-（6+3λ）=0变形为：（2x-y-6）+λ（x+2y-3）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x+2y-3=0}\end{array}\right.$，解得F（3，0），可得c．由椭圆C上点到点F的最小距离为2，可得a-c=2，又b²=a²-c²．联立解出即可得出．
（II）点P（m，n）在椭圆C上运动时，可得$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{16}$=1，可得m²=$\frac{25}{16}（16-{n}^{2}）$．n∈[-4，4]．圆心O（0，0）到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{25-\frac{9}{16}{n}^{2}}}$，求出其范围与半径1比较，即可证明直线l与圆C恒相交．直线l被圆O所截得的弦长=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$．

解答 （I）解：直线（2+λ）x-（1-2λ）y-（6+3λ）=0变形为：（2x-y-6）+λ（x+2y-3）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x+2y-3=0}\end{array}\right.$，解得F（3，0），
可得：所经过的定点F（3，0）为椭圆C的一个焦点，∴c=3．
由椭圆C上点到点F的最小距离为2，可得a-c=2，∴a=5，∴b²=a²-c²=16．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（II）证明：点P（m，n）在椭圆C上运动时，可得$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{16}$=1，可得m²=$\frac{25}{16}（16-{n}^{2}）$．n∈[-4，4]．
圆心O（0，0）到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}（16-{n}^{2}）+{n}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{25-\frac{9}{16}{n}^{2}}}$∈$[\frac{1}{5}，\frac{1}{4}]$，∴直线l与圆C恒相交．
直线l被圆O所截得的弦长=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{25-\frac{9}{16}{n}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{4\sqrt{5}}{5}]$．
∴直线l被圆O所截得的弦长的取值范围是$[\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{4\sqrt{5}}{5}]$．

点评 本题考查了直线经过定点问题、椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．