Question

13．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁如图所示，其中CA⊥平面ABB₁A₁，四边形ABB₁A₁为菱形，∠AA₁B₁=60°，E为BB₁的中点，F为CB₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面CAA₁C₁；
（2）若CA=2，AA₁=4，求B₁到平面AEF的距离．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABB₁A₁为菱形，∠AA₁B₁=60°=∠ABB₁，利用等边三角形的性质可得AE⊥BB₁，AE⊥AA₁．利用线面垂直的性质可得：AE⊥AC，于是AE⊥平面CAA₁C₁，平面AEF⊥平面CAA₁C₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，利用d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：∵四边形ABB₁A₁为菱形，∠AA₁B₁=60°=∠ABB₁，∴△ABB₁是等边三角形，又BE=EB₁，∴AE⊥BB₁，∵AA₁∥BB₁，∴AE⊥AA₁．
∵CA⊥平面ABB₁A₁，AE?平面ABB₁A₁，∴AE⊥AC．∵AC∩AA₁=A，∴AE⊥平面CAA₁C₁，AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面CAA₁C₁．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．由CA=2，AA₁=4，
可得：A（0，0，0），C（0，0，2），E（2$\sqrt{3}$，0，0），B₁（2$\sqrt{3}$，2，0），F$（\sqrt{3}，1，1）$．
$\overrightarrow{AE}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=$（\sqrt{3}，1，1）$．
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x=0}\\{\sqrt{3}x+y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（2$\sqrt{3}$，2，0），
∴B₁到平面AEF的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系的判定及其性质定理、法向量求距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．