Question

18．已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x的图象关于y轴对称．
（1）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；
（2）若函数h（x）=f（x）-ax在（-1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用条件的到两个关于m、n的方程，求出m、n的值，再找函数y=f（x）的导函数大于0和小于0对应的区间即可．
（2）由h'（x）=3x²-6x-a≤0在（-1，1）上恒成立，得a≥3x²-6x对x∈（-1，1）恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由函数f（x）图象过点（-1，-6），得m-n=-3，
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，a≥9
则g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n，
而g（x）图象关于y轴对称，所以-$\frac{2m+6}{2×3}$=0，所以m=-3，代入①得n=0．
于是f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞0得x＞2或x＜0，
故f（x）的单调递增区间是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的单调递减区间是（0，2）．
（2）解：由h'（x）=3x²-6x-a≤0在（-1，1）上恒成立，
得a≥3x²-6x对x∈（-1，1）恒成立．
∵-1＜x＜1，
∴3x²-6x＜9，
∴a≥9．

点评 本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．