Question

16．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}t}\\{y=-2+\frac{3}{5}t}\end{array}}\right.（t$为参数）．
（1）判断C₁与C₂的位置关系；
（2）设M为C₁上的动点，N为C₂上的动点，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由${C_1}：{ρ^2}=2ρcosθ$，利用互化公式可得直角坐标方程．由曲线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}t}\\{y=-2+\frac{3}{5}t}\end{array}}\right.（t$为参数），消去参数化为直角坐标方程．利用点到直线的距离公式可得：圆心C₁（1，0）到3x+4y+8=0的距离d，即可判断出位置关系．
（2）利用d-r即可得出．

解答 解：（1）由${C_1}：{ρ^2}=2ρcosθ$，可得直角坐标方程：x²+y²-2x=0，配方为（x-1）²+y²=1．
由曲线C₂的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}t}\\{y=-2+\frac{3}{5}t}\end{array}}\right.（t$为参数），消去参数化为：3x=-4y-8，
∴C₂的普通方程为3x+4y+8=0．
圆心C₁（1，0）到3x+4y+8=0的距离$d=\frac{{|{3+8}|}}{5}=\frac{11}{5}＞1$，
∴C₁与C₂相离．
（2）${|{MN}|_{min}}=\frac{11}{5}-1=\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．