Question

4．已知函数f（x）=（-ax²-2x+a）•e^x（a∈R）．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-1，1]上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=-2代入f（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）在[-1，1]上单调递减，即f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，对a进行分类讨论即可解出a的取值范围．

解答 解：（1）a=-2时，f（x）=（2x²-2x-2）•e^x，定义域为R．
f′（x）=（2x²-2x-2）•e^x+（4x-2）•e^x=2（x-1）（x+2）•e^x．
由f′（x）＞0得x＜-2或x＞1，由f′（x）＜0，得-2＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（1，+∞），单调递减区间为（-2，1）．
（2）f′（x）=（-ax²-2x+a）•e^x+（-2ax-2）•e^x=-[ax²+2（a+1）x+2-a]•e^x．
令g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2．
①当a=0时，g（x）=-2x-2，在（-1，1）内g（x）＜0，f′（x）＜0，
函数f（x）在[-1，1]上单调递减．
②当a＞0时，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函数，其对称轴为x=-1-$\frac{1}{a}$＜-1，
当且仅当g（-1）≤0，即a≤0时，f′（x）≤0，此时无解．
③当a＜0时，g（x）=-ax²-2（a+1）x+a-2是二次函数，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=a≤0}\\{g（1）=-2a-4≤0}\end{array}\right.$．∴-2≤a＜0时，f′（x）≤0，
此时函数f（x）在[-1，1]上单调递减．
综上，实数a的取值范围是[-2，0]．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，对可导函数f（x）来说，f′（x）≤0（不总为0）是f（x）在某区间上单调递减的充要条件．