Question

8．已知的定义域为（0，π），且对定义域的任意x恒有f′（x）sinx＞f（x）cosx成立，则下列关系成立的是（　　）

• A． f（$\frac{2016π}{2017}$）＞f（$\frac{π}{2017}$）
• B． f（$\frac{2016π}{2017}$）=f（$\frac{π}{2017}$）
• C． f（$\frac{2016π}{2017}$）＜f（$\frac{π}{2017}$）
• D． f（$\frac{2016π}{2017}$）与f（$\frac{π}{2017}$）的大小关系不确定

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）sinx，求出导函数，根据题意可判断g（x）为增函数，可得f（$\frac{2016π}{2017}$）sin$\frac{2016π}{2017}$＞f（$\frac{π}{2017}$）sin$\frac{π}{2017}$，根据诱导公式可得出结论．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g'（x）＞0恒成立，
∴g（x）定义域内递增，
∴f（$\frac{2016π}{2017}$）÷sin$\frac{2016π}{2017}$＞f（$\frac{π}{2017}$）÷sin$\frac{π}{2017}$，
∴f（$\frac{2016π}{2017}$）sin$\frac{π}{2017}$＞f（$\frac{π}{2017}$）sin$\frac{2016π}{2017}$，
∴f（$\frac{2016π}{2017}$）＞f（$\frac{π}{2017}$），
故选A．

点评 本题考查了函数的构造和导函数的应用，诱导公式的应用．难点是构造函数．