Question

17．已知关于x的方程2sin²x-cos²x+2sinx+m=0有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 将原方程可化为m=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，再由-1≤sinx≤1，求得y=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$的值域，从而求得实数m范围．

解答 解：∵m=-2sin²x+cos²x-2sinx=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
∵sinx∈[-1，1]，
∴函数y=-3（sinx+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$的值域是[-4，$\frac{4}{3}$]，
∵方程2sin²x-cos²x+2sinx+m=0有实数解，
∴m∈[-4，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查方程根的问题转化为函数的值域求解，还涉及了三角函数，二次函数值域的求法，考查了转化思想的应用，属于中档题．