Question

2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（I）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在圆C上求一点D，使它到直线l的距离最短，并求出点D的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．消去参数t即可得出直线l的普通方程．由$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，得${ρ^2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出直角坐标方程．
（II）利用圆的参数方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域即可得出，

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．消去参数t得，直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$．
由$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，得${ρ^2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，从而有${x^2}+{y^2}=2\sqrt{3}y$，配方可得：${x^2}+{（{y-\sqrt{3}}）^2}=3$
（Ⅱ）∵点D在圆C上，∴可设点D$（\sqrt{3}cosφ，\sqrt{3}（\sqrt{3}+sinφ））$（φ∈[0，2π）），
∴点D到直线l的距离为d=$\frac{|3cosφ-（3+\sqrt{3}sinφ）-3\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{|2\sqrt{3}sin（\frac{π}{3}-φ）-3-3\sqrt{3}|}{2}$，
∵φ∈[0，2π），∴当$φ=\frac{11π}{6}$时，d_min3+$\sqrt{3}$．
此时D$（\frac{3}{2}，3-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、点到直线的距离公式、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．