Question

19．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|，g（x）=-x．
（1）解不等式f（x）＞g（x）；
（2）对任意的实数x，不等式f（x）-2x≤2g（x）+m（m∈R）恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意不等式f（x）＞g（x）可化为|x-2|+x＞|x+1|，分类讨论，即可解不等式f（x）＞g（x）；
（2）由不等式f（x）-2x≤2g（x）+m，可得|x-2|≤|x+1|+m，分离参数m，得m≥|x-2|-|x+1|，所以m≥（|x-2|-|x+1|）_max，即可求出实数m的最小值．

解答 解：（1）由题意不等式f（x）＞g（x）可化为|x-2|+x＞|x+1|，
当x＜-1时，-（x-2）+x＞-（x+1），解得x＞-3，即-3＜x＜-1；
当-1≤x≤2时，-（x-2）+x＞x+1，解得x＜1，即-1≤x＜1；
当x＞2时，x-2+x＞x+1，解得x＞3，即x＞3．
综上所述，不等式f（x）＞g（x）的解集为{x|-3＜x＜1或x＞3}．
（2）由不等式f（x）-2x≤2g（x）+m，可得|x-2|≤|x+1|+m，
分离参数m，得m≥|x-2|-|x+1|，所以m≥（|x-2|-|x+1|）_max，
因为|x-2|-|x+1|≤|x-2-（x+1）|=3，所以m≥3，
故实数m的最小值是3．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，正确分类讨论是关键．