Question

9．已知函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义判断出极值即可；
（2）由f（x）=0，得$a=\frac{lnx}{x}$，令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，$f'（x）=\frac{1}{x}-1（{x＞0}）$，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上递增；在（1，+∞）上递减．
∴当x=1时，f（x）取得极大值-1，无极小值．
（2）由f（x）=0，得$a=\frac{lnx}{x}$，令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减．
∴$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$，又当x→0时，g（x）→-∞，当x＞e时g（x）＞0，
所以，若函数y=f（x）有两个零点，a的取值范围为$0＜a＜\frac{1}{e}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数零点的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．