Question

14．已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处的极小值为-1．
（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；
（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-6ax+2b
∵在x=1处的极值为-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-1\\{f^'}（1）=0\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}1-3a+2b=-1\\ 3-6a+2b=0\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=3x²-2x-1
当f′（x）≥0时，$x≤-\frac{1}{3}$或x≥1，
∴增区间为$（{-∞，-\frac{1}{3}}]，[{1，+∞}）$
当f′（x）≤0时，$-\frac{1}{3}≤x≤1$，
∴减区间为$[{-\frac{1}{3}，1}]$
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当$x=-\frac{1}{3}$时，f（x）取极大值为$\frac{5}{27}$，当x=1时，f（x）取极大值为-1
∴当$-1＜a＜\frac{5}{27}$时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．

点评 考查了极值的定义和极值的应用，难点是对极值的深刻理解．