Question

19．如图所示，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC上的点（E、F不与边的端点重合）．已知线段BF、BC的长分别为m、n、AB、BE的长是关于x的方程x²-18x+mn=0的两个根．
（1）证明：A、E、F、C四点共圆；
（2）若n=2m=8，求四边形AEFC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平面几何知识证得△FBE∽△ABC，进一步得到∠BFE=∠BAC，从而得到A、E、F、C四点共圆；
（2）求解方程x²-18x+mn=0的两个根，得到BE=2，AB=16．设所求外接圆的圆心为O，半径为R，则圆心O为线段CE的中垂线与线段BD的中垂线的交点，利用勾股定理求得四边形CBDE外接圆的半径的平方得答案．

解答 （1）证明：连接EF，根据题意在△BEF和△ACB中，BF•BC=mn=BE•AB，
即$\frac{BF}{AB}=\frac{BE}{CB}$．…（2分）
又∠FBE=∠CBA，从而△FBE∽△ABC…（4分）
因此∠BFE=∠BAC．
所以A、E、F、C四点共圆．…（5分）
（2）解：当m=4，n=8时，方程x²-18x+mn=0的两个根为x₁=2，x₂=16．
故BE=2，AB=16…（7分）
如图，设圆心为O，AE，CF的中点分别为Q，H，连接OQ，OH
则OE²=OQ²+EQ²=（$\frac{16-2}{2}$）²+（4+$\frac{8-4}{2}$）²=85…（9分）
故四边形AEFC外接圆的面积为85π．…（10分）

点评 本题考查圆内接多边形性质的判断，考查分析问题和求解问题的能力，属中档题．