Question

10．已知函数$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
（Ⅰ）若，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入，求出导函数f'（x）≥0，得出结论；
（Ⅱ）求出函数的导函数，对a进行分类讨论，判断定义域内是否递增．

解答 证明：（Ⅰ）函数$f（x）=lnx-\frac{a（x-1）}{x+1}，a∈R$．
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}$
若a=2，则$f′（x）=\frac{{x}^{2}-2x+1}{x{（x+1）}^{2}}=\frac{{（x-1）}^{2}}{x{（x+1）}^{2}}≥0$，
当且仅当x=1时，取等号
则f（x）在（0，+∞）上为增函数；
解：（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}$，
注意到f（1）=0
（1）当a≤1时，则$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}＞0$，
则f（x）在（0，+∞）上为增函数；显然适合题意；
（2）当1＜a≤2时，则△=4（a²-2a）≤0，则$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}≥0$，
当且仅当a=2，x=1时，取等号，
则f（x）在（0，+∞）上为增函数；显然适合题意．
（3）当a＞2时，则△=4（a²-2a）＞0，
则$f'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}=0$有两个实根${x_1}=a-1-\sqrt{{a^2}-2a}，{x_2}=a-1+\sqrt{{a^2}-2a}$，
且0＜x₁＜a-1＜x₂，（a-1＞1），
则f（x）在（0，x₁]，[x₂，+∞）上为增函数，在（x₁，x₂）上是减函数；
1∈（x₁，x₂），f（1）=0，
显然不适合题意．综上：a≤2

点评 考查了导函数的应用和二次函数参数的分类讨论．难点是转化思想的应用．