Question

2．已知函数f（x）=x³-3ax+$\frac{1}{4}$，若函数y=f（x）的极小值为0，则a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 求导，分类当a≤0，无极值，a＞0，根据函数的单调性求得当x=$\sqrt{a}$时，取极小值，即f（$\sqrt{a}$）=a$\sqrt{a}$-3a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{4}$=0，即可求得a的值．

解答 解：f（x）=x³-3ax+$\frac{1}{4}$，f′（x）=3x²-3a，
当a≤0，f′（x）≥0，恒成立，函数y=f（x）无极值，
当a＞0，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$，
当f′（x）＞0，解得x＞$\sqrt{a}$，
当f′（x）＜0，解得0＜x＜$\sqrt{a}$，
∴函数在（0，$\sqrt{a}$）单调递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）单调递增，
∴x=$\sqrt{a}$时，取极小值，
∴f（$\sqrt{a}$）=a$\sqrt{a}$-3a$\sqrt{a}$+$\frac{1}{4}$=0，解得：a=$\frac{1}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及极值，考查运算能力，属于基础题．