Question

数列{a_n}中a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设S₅₀=|a₁|+|a₂|+L+|a₅₀|，求S₅₀．

Answer 1

分析：（1）首先判断数列{a_n}为等差数列，由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通项公式即得．
（2）判断哪几项为非负数，前五项加绝对值不变，用等差数列前n项和算出，后45项加绝对值变为相反数，可把a₆看作首项，公差不变，求出后45项的和，用前5项的和减去后45项的和即得所求．

解答：解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，∴2a_n+1=a_n+a_n+2
∴数列{a_n}是首项为a₁=8的等差数列．
∵a₁=8，a₄=2，公差d=

a4-a1

4-1

=-2，a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴数列{a_n}的前5项为非负数，后面的45项为负数．
a₆=10-2×6=-2，a₅₀=10-2×50=-90
S₅₀=a₁+a₂+…+a₅+（-a₆）+（-a₇）+…+（-a₅₀）
=

8+0

2

×5+

2+90

2

×45=2090．

点评：考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，求出公差，用代入法直接可求；求S₅₀时，注意后45项与{a_n}中的项是互为相反，可以利用数列{a_n}是等差数列求出后45项的和，取相反数即可．