Question

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为

3

，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为-

2

3

，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：

分析：首先，设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0），然后，设出直线与椭圆的两个交点坐标，然后，将这两个交点坐标代入椭圆方程，两个方程相减，得到关于a，b的一个方程，再结合给定的a，c的关系式，求解即可．

解答： 解：设椭圆的标准方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是-

2

3

，
∴弦的中点的纵坐标是-

1

3

，
设椭圆与直线x+y+1=0的两个交点为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
则有

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1 ①

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1 ②
①-②，化简得

(x1+x2)(x1-x2)

a2

+

(y1+y2)(y1-y2)

b2

=0 ③
x₁+x₂=2×（-

2

3

）=-

4

3

，
y₁+y₂=2×（-

1

3

）=-

2

3

，
且

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴由③得a²=2b²，
又由题意2c=

3

，有c=

3

2

，
则可求得c²=

3

4

=b²，a²=

3

2

，
∴椭圆的标准方程为：

x2

3 2

+

y2

3 4

=1．

点评：本题重点考查了椭圆的几何性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，涉及到弦的中点问题，处理思路是“设而不求”的思想．