Question

已知不同的三点A、B、C满足

AB

=λ

BC

（λ∈R，λ≠0），使得关于x的方程x²

OA

+x

OB

-

OC

=

0

有解（点O不在直线AB上），则此方程在实数范围内的解集为（　　）

• A、∅
• B、{-1，0}
• C、{-1}
• D、{

  -1+ 5

  2

  ，

  -1- 5

  2

  }

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：将

AB

=λ

BC

中的

AB

，

BC

用向量

OA

，

OB

，

OC

表示，于是

OC

可用

OA

，

OB

表示，而方程x²

OA

+x

OB

-

OC

=

0

可改写成

OC

=x²

OA

+x

OB

，根据平面向量基本定理，存在唯一的实数对λ₁，λ₂，使得

OC

=λ1

OA

+λ2

OB

，从而得到关于x的一元二次方程，探究此方程即可得解集．

解答： 解：由

AB

=λ

BC

，得

OB

-

OA

=λ(

OC

-

OB

)，
因为λ≠0，所以

OC

=-

1

λ

OA

+

1+λ

λ

OB

，
又由x²

OA

+x

OB

-

OC

=

0

，得

OC

=x²

OA

+x

OB

，
根据平面向量基本定理，有

- 1 λ =x2 1+λ λ =x

，
消去λ，得x²+x-1=0，从而x=

-1± 5

2

．
故选D．

点评：1．本题考查了共线向量定理、平面向量基本定理，关键是利用向量运算法则，对共线向量的充要条件进行灵活变形，将向量关系转化为实数的关系．
2．记住一些常用的结论，可加快解题的速度，如A、B、C三点共线，O为直线ABC外一点，则存在不为零的实数λ₁，λ₂，λ₃，使得λ₁

OA

+λ₂

OB

+λ₃

OC

=

0

，且λ₁+λ₂+λ₃=0，根据这一规律，本题还可以快速求解：由

AB

=λ

BC

知，A、B、C三点共线，x²+x-1=0，解方程即得解集．