Question

（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P－ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°．

（1）证明：∠PBC＝90°；
（2）若PB＝3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

(1)取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB平面POB，
∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.
(2)如图，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，则＝(－1，，0)，
＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，取z＝，则n＝(0,1，)，
设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

解析