Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α为参数），若直线l过曲线C的焦点且倾斜角为60°，则直线l被圆锥曲线C所截得的线段的长度是3.2．

Answer 1

分析 将直线的参数方程与椭圆标准方程联立，利用参数的几何意义计算直线l被圆锥曲线C所截得的线段的长度即可．

解答 解：圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，右焦点（1，0）
直线l过曲线C的焦点且倾斜角为60°，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得5t²+4t-12=0
∴t=-2或1.2．
∴直线l被圆锥曲线C所截得的线段的长度是3.2，
故答案为：3.2．

点评 本题考查了椭圆的参数方程，标准方程及其互化，直线的参数方程，直线与椭圆的位置关系，求相交弦长的方法．