Question

设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx
（Ⅰ）记h（x）=f（x）+g（x），求证：h（x）在区间（0，1）上是增函数；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x∈（0，1）时，h（x）=-x²+x+m+lnx，求得 h′（x）=-2x+

1

x

+1=

(1-x)(1+2x)

x

＞0，可得h（x）在区间（0，1）上是增函数．
（Ⅱ）由题意可得方程x|x-1|+m=lnx有解，即m=lnx-x|x-1|=

x2-x+lnx ，x∈(0 ，1) -x2+x+lnx ，x∈(1 ，+∞)

，当x∈（0，1）时，利用导数求得m的范围；当x∈（1，+∞）时，利用导数求得m的范围，再把m的这2个范围取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）当x∈（0，1）时，h（x）=f（x）+g（x）=-x²+x+m+lnx，
求得函数h（x）的导数为 h′（x）=-2x+

1

x

+1=

(1-x)(1+2x)

x

＞0，可得h（x）在区间（0，1）上是增函数．
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有解，则方程x|x-1|+m=lnx有解，
可得 m=lnx-x|x-1|=

x2-x+lnx ，x∈(0 ，1) -x2+x+lnx ，x∈(1 ，+∞)

，
当x∈（0，1）时，设y=x²-x+lnx，由于y′=

1

x

+2x-1≥2

2

-1＞0，
所以，y=x²-x+lnx 在区间（0，1]上是增函数，其值域为（-∞，0]．…（12分）
当x∈（1，+∞）时，设y=-x²+x+lnx，由于y′=

1

x

-2x-1＜0，
函数y=-x²+x+lnx 在区间（1，+∞）是减函数，其值域为（-∞，0）．…（15分）
综上，y=lnx-x|x-1|在区间（0，+∞）上的值域为（-∞，0]，即m的取值范围是（-∞，0]．…（16分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．