有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球.2个黑球和1个红球．乙箱子里装有2个白球.1个黑球和2个红球．这些球除颓色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出3个球.若摸出的6个球中白球个数比黑球多.黑球的个数比红球多.则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中.摸出3个白球.2个黑球.1个红球的概率,(2)设在2次游戏中获奖次数为X.求数学期望E(X)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球和1个红球．乙箱子里装有2个白球、1个黑球和2个红球．这些球除颓色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出3个球，若摸出的6个球中白球个数比黑球多，黑球的个数比红球多，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在1次游戏中，摸出3个白球、2个黑球、1个红球的概率；
（2）设在2次游戏中获奖次数为X，求数学期望E（X）．

分析（1）设“一次游戏中摸出3个白球，2个黑球，1个白球”为事件A₁，包括三种情况：①甲袋中摸出2白1红，乙袋中摸出1白1红1黑；②甲袋中摸出1白2黑，乙袋中摸出2白1红；③甲袋中摸出1白1红1黑，乙袋中摸出2白1黒，分别求出相应概率相加即得到在1次游戏中，摸出3个白球、2个黑球、1个红球的概率．
（2）求出1次游戏获奖的概率为$\frac{49}{200}$，从而X～B（2，$\frac{49}{200}$），由此能求出E（X）．

解答解：（1）设“一次游戏中摸出3个白球，2个黑球，1个白球”为事件A₁，
包括三种情况：
①甲袋中摸出2白1红，乙袋中摸出1白1红1黑，概率为：${p}_{1}=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{25}$．
②甲袋中摸出1白2黑，乙袋中摸出2白1红，概率为：${p}_{2}=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{100}$．
③甲袋中摸出1白1红1黑，乙袋中摸出2白1黒，概率为：${p}_{3}=\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{50}$，
∴P（A₁）=$\frac{3}{25}+\frac{3}{100}+\frac{3}{50}=\frac{21}{100}$．
（2）设“一次游戏中摸出4个白球，2个黑球，0个红球”为事件A₂，
P（A₂）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{100}$，
设“一次游戏中摸出5个白球，1个黑球，0个红球”为事件A₃，
P（A₃）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}•\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{200}$，
∴1次游戏获奖的概率$p=\frac{21}{100}+\frac{3}{100}+\frac{1}{200}$=$\frac{49}{200}$，
∴X～B（2，$\frac{49}{200}$），
∴E（X）=2×$\frac{49}{200}$=$\frac{49}{100}$．

点评本题考查随机事件概率的古典概型、二项分布的期望公式、排列组合等知识，同时考查抽象概括、分类讨论、运算求解的能力和应用意识．

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