Question

9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，$\frac{sinA}{sinC}=\frac{asinB}{a-bcosC}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC边AC上的高h=b，求$\frac{sinB}{tanA}+\frac{sinB}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用正弦定理结合三角形的内角和定理．即可得到A．
（Ⅱ）根据△ABC边AC上的高h=b，求出tanA和tanC，带入化简可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{sinA}{sinC}=\frac{asinB}{a-bcosC}$．
根据正弦定理，可得：$\frac{a}{c}=\frac{asinB}{a-bcosC}$，
即a-bcosC=csinB，
得：sinA-sinBcosC=sinCsinB．
B+C+A=π
∴sinA=sin（B+C）
∴sinBcosC+sinCcosB-sinBcosC=sinCsinB．
可得：sinCcosB=sinCsinB．
∵0＜C＜π，sinC≠0．
∴cosB=sinB
∵0＜B＜π．
∴B=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）由题意，过B点作AC的高h=DB=b．设AD=m，DC=n，n+m=b．
则tanA=$\frac{b}{m}$，tanC=$\frac{b}{n}$，
可得$\frac{sinB}{tanA}+\frac{sinB}{tanC}$=sinB（$\frac{m}{b}+\frac{n}{b}$）=sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．