Question

14．已知函数f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²．
（1）设a＞0，求函数f（x）的单调区间．
（2）不等式（2x-4a）lnx＞-x对?x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=（4x-4a）（lnx+1），（a＞0），令f′（x）=0，得x=a，或x=$\frac{1}{e}$．分以下三种情况：①当a=$\frac{1}{e}$时，②当0$＜a＜\frac{1}{e}$时，③当a$＞\frac{1}{e}$时，求函数的单调区间；
（2）不等式（2x-4a）lnx＞-x对?x∈[1，+∞）恒成立?不等式x（2x-4a）lnx＞-x²对?x∈[1，+∞）恒成立
?f（x）＞0对?x∈[1，+∞）恒成立，结合（1）求解．

解答 解：（1）函数函数f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²的定义域为（0，+∞）．
 f′（x）=（4x-4a）（lnx+1），（a＞0），令f′（x）=0，得x=a，或x=$\frac{1}{e}$．
①当a=$\frac{1}{e}$时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此时函数的增区间为（0，+∞），无减区间；
②当0$＜a＜\frac{1}{e}$时，x∈（0，a），（$\frac{1}{e}，+∞$）时，f′（x）＞0，x$∈（a，\frac{1}{e}）$时，f′（x）＜0，
此时函数的增区间为（0，a），（$\frac{1}{e}，+∞$），减区间为：（a，$\frac{1}{e}$）；
③当a$＞\frac{1}{e}$时，x$∈（0，\frac{1}{e}），（a，+∞）$时，f′（x）＞0，x$∈（\frac{1}{e}，a）$时，f′（x）＜0，
此时函数的增区间为，（0，$\frac{1}{e}$），（a，+∞），减区间为：（$\frac{1}{e}，a$）．
（2）不等式（2x-4a）lnx＞-x对?x∈[1，+∞）恒成立
?不等式x（2x-4a）lnx＞-x²对?x∈[1，+∞）恒成立，
?f（x）＞0对?x∈[1，+∞）恒成立，而f（1）=1＞0，
由（1）得：当0＜a≤1时，函数在[1，+∞）递增，f（x）≥f（1）＞0，符合题意．
当a＞1时，函数在（1，a）递减，在（a，+∞）递增，
故只需f（a）=a²（1-2lna）＞0，即2lna＜1，解得a$＜\sqrt{e}$．
故1$＜a＜\sqrt{e}$符合题意
综上：a的取值范围为（0，$\sqrt{e}$）．

点评 本题考查了利用导数求单调区间、函数最值，考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题．