Question

4．已知f（x）=x³-2x，过点（1，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围为（-2，-1）．

Answer 1

分析 设切点为（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}$），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（x₀），利用点斜式写出切线方程，将点（1，m）代入切线方程，可得关于x₀的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2$2{{x}_{0}}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}=-2-m$，令g（x）=2x³-3x²，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=-2-m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围．

解答 解：设切点为（${x}_{0}，{{x}_{0}}^{3}-2{x}_{0}$），
由f（x）=x³-2x，得f′（x）=3x²-2，
∴$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}-2$．
则切线方程为$y-{{x}_{0}}^{3}+2{x}_{0}=（3{{x}_{0}}^{2}-2）（x-{x}_{0}）$．
把（1，m）代入，可得m=$-2{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}-2$．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程m=$-2{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}-2$有三个不同的根，
令g（x）=2x³-3x²，
∴g′（x）=6x²-6x=0，解得x=0或x=1，
当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，
当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=-1，
关于x₀的方程m=$-2{{x}_{0}}^{3}+3{{x}_{0}}^{2}-2$有三个不同的根，
等价于y=g（x）与y=-2-m的图象有三个不同的交点，
∴-1＜-2-m＜0，
∴-2＜m＜-1，
∴实数m的取值范围为（-2，-1）．
故答案为：（-2，-1）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，对能力要求较高．属于中档题．