Question

16．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．

Answer 1

分析 y，z为正数，可得$\sqrt{（y+1）（z+1）}$≤$\frac{y+1+z+1}{2}$，要证明x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，$y=\root{3}{{a}^{2}b}$，z=$\root{3}{a{b}^{2}}$．
令$\root{3}{a}$=m＞0，$\root{3}{b}$=n＞0，可得2x≥y+z?m³+n³≥m²n+mn²?（m-n）²≥0，

解答 证明：∵y，z为正数，∴$\sqrt{（y+1）（z+1）}$≤$\frac{y+1+z+1}{2}$，
要证明x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．（x＞0）．
只要证明：2x≥y+z即可．
∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，
∴2x=a+b，$y=\root{3}{{a}^{2}b}$，z=$\root{3}{a{b}^{2}}$．
令$\root{3}{a}$=m＞0，$\root{3}{b}$=n＞0，
则2x≥y+z?m³+n³≥m²n+mn²．
?（m-n）²≥0，
上式显然成立，
因此：x+1≥$\sqrt{（y+1）（z+1）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分析法与综合法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．